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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1: Funciones Reales

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7. Encuentre la función lineal gg que da la temperatura en grados Farenheit, conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que 0 grados Celsius son 32 grados Farenheit y que 100 grados Celsius son 212 grados Farenheit. Recíprocamente, encuentra la función hh que da la tamperatura en grados Celsius conocida la misma en grados Farenheit.

Respuesta

Sabemos que la función que relaciona grados Celsius (∘C^\circ C) y grados Fahrenheit (∘F^\circ F) es una función lineal, es decir que es de la forma y=mx+by=mx + b. Nosotros queremos meterle a "nuestra máquina" una temperatura en °C y que nos arroje a cuanto equivale en °F... Te das cuenta que en este contexto la xx van a ser los grados en °C y la yy son los grados en °F? 
  El enunciado nos da como dato dos conversiones conocidas, que las podemos expresar como puntos de nuestra recta:
1. (0,32) (0, 32) : Cuando C=0 C = 0 , F=32 F = 32 . 2. (100,212) (100, 212) : Cuando C=100 C = 100 , F=212 F = 212 . Planteamos el sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 32=m⋅0+b 32 = m \cdot 0 + b → Para (0,32) (0, 32) Ecuación 2: 212=m⋅100+b 212 = m \cdot 100 + b → Para (100,212) (100, 212) De la Ecuación 1 obtenemos al toque b=32 b = 32 Ahora que conocemos b b , reemplazamos bb en la segunda ecuación para encontrar m m : 212=100m+32 212 = 100m + 32 Despejamos mm 212−32=100m 212 - 32 = 100m
180=100m 180 = 100m
m=95 m = \frac{9}{5} Ya tenemos tanto la pendiente (m m ) como la ordenada al origen (b b ), así que la ecuación de nuestra recta es: g(x)=95x+32 g(x) = \frac{9}{5}x+ 32

Perfecto! Ahora queremos hallar una función lineal a la cual yo le "meta" una temperatura en °F y me diga a cuanto corresponde en °C... Mmm, ahora cambiamos los roles, no? Nuestra coordenada xx ahora van a ser los grados Fahrenheit y nuestra coordenada yy los grados Celsius. Sería esta función: h(x)=mx+bh(x) = mx + b 

Entonces, mucho cuidado ahora... ¿Cuáles van a ser los puntos de paso de nuestra recta?

(32,0) (32, 0) y (212,100) (212, 100)

¡Claaaro, invertimos las coordenadas xx e yy!

Bueno, seguimos como siempre, planteamos el sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 0=m⋅32+b 0 = m \cdot 32 + b → Para (32,0) (32, 0) Ecuación 2: 100=m⋅212+b 100 = m \cdot 212 + b → Para (212,100) (212, 100)

De la Ecuación 1 despejamos bb: 0=32m+b0 = 32 m + b
b=−32m b = -32 m Ahora reemplazamos este valor en la Ecuación 2: 100=212m−32m100 = 212m -32m
100=180m100=180m m=100180m = \frac{100}{180}
m=59m = \frac{5}{9} Perfecto, tenemos la pendiente. Ahora reemplazamos en la expresión donde habíamos despejado bb: b=−32⋅m=−32⋅59=−1609b = -32 \cdot m = -32 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{160}{9} Por lo tanto, la función lineal que estábamos buscando es... h(x)=59x−1609h(x)= \frac{5}{9}x -\frac{160}{9}

Spoiler: Esta última función lineal que acabamos de encontrar es la inversa de la primera... Ya lo vamos a ver en la clase de Función Inversa, pero ya que estás acá, me gustaría que vayas viendo esta idea de que la función inversa es como la "máquina" pero funcionando al revés. A la primera función yo le metía una temperatura en C° y me devolvía un resultado en °F. A la inversa, le meto una temperatura en °F y me la devuelve en °C. 
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ciro
5 de abril 18:56
yo lo plantee al reves😅​, haciendo que los F sean X y los C sea Y. Y me quedo f(x)=1,8 por x + 32. Esta mal que lo haya planteado asi?
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